已知函数f(x)的导数f'(x)=2x-9，且f(0)的值为整数，当x属于(n,n+1](n属于正整数）时

因为f(x)的导数f'(x)=2x-9，所以可设f(x)=x²-9x+k，则
f(0)=k，依题意知k为整数。又n为正整数，所以f(n+1)及f(n)均为整数。
f(x)是二次函数，开口向上，对称轴为x=4.5

1、当对称轴在区间(n,n+1]的右边时，n+1≤4.5，即n≤3.5，f(x)在(n,n+1]上是减函数，所以f(n+1)≤f(x)< f(n)，
前面已得出f(n+1)及f(n)均为整数，依题意，区间[f(n+1)，f(n)）上的整数只有一个，该区间为前闭后开，所以这个整数只能是f(n+1)，且有
f(n)≤1+f(n+1)，所以
n²-9n+k≤1+(n+1)²-9(n+1)+k
解这个不等式，并结合n≤3.5，得n无解。

2、当对称轴在区间(n,n+1]内时，n<4.5且n+1>4.5，即3.5<n<4.5，所以n=4，f(x)在(4，5]上先减后增，在对称轴处取得最小值，所以
f(4.5)≤f(x) ≤ f(5)，
依题意，区间[f(4.5)，f(5)]上的整数只有一个，而f(5)是整数，f(4.5)不是整数，所以这个整数只能是f(5)，且有
f(4.5)>f(5)-1，所以
4.5²-9*4.5+k>5²-9*5+k-1
经验证这个不等式成立，即n=4成立。

3、当对称轴在区间(n,n+1]的左边时，n≥4.5，f(x)在(n,n+1]上是增函数，所以f(n)<f(x)≤f(n+1)，
前面已得出f(n+1)及f(n)均为整数，依题意，区间（f(n)，f(n+1)]上的整数只有一个，该区间为前开后闭，所以这个整数只能是f(n+1)，且有
f(n)≥f(n+1)-1，所以
n²-9n+k≥(n+1)²-9(n+1)+k-1
解这个不等式，并结合n≥4.5，得n无解。

综上所述，n=4