已知函数f(x)的导数f'(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x属于(n,n+1](n属于正整数)时
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/08/22 12:57:56
因为f(x)的导数f'(x)=2x-9,所以可设f(x)=x²-9x+k,则
f(0)=k,依题意知k为整数。又n为正整数,所以f(n+1)及f(n)均为整数。
f(x)是二次函数,开口向上,对称轴为x=4.5
1、当对称轴在区间(n,n+1]的右边时,n+1≤4.5,即n≤3.5,f(x)在(n,n+1]上是减函数,所以f(n+1)≤f(x)< f(n),
前面已得出f(n+1)及f(n)均为整数,依题意,区间[f(n+1),f(n))上的整数只有一个,该区间为前闭后开,所以这个整数只能是f(n+1),且有
f(n)≤1+f(n+1),所以
n²-9n+k≤1+(n+1)²-9(n+1)+k
解这个不等式,并结合n≤3.5,得n无解。
2、当对称轴在区间(n,n+1]内时,n<4.5且n+1>4.5,即3.5<n<4.5,所以n=4,f(x)在(4,5]上先减后增,在对称轴处取得最小值,所以
f(4.5)≤f(x) ≤ f(5),
依题意,区间[f(4.5),f(5)]上的整数只有一个,而f(5)是整数,f(4.5)不是整数,所以这个整数只能是f(5),且有
f(4.5)>f(5)-1,所以
4.5²-9*4.5+k>5²-9*5+k-1
经验证这个不等式成立,即n=4成立。
3、当对称轴在区间(n,n+1]的左边时,n≥4.5,f(x)在(n,n+1]上是增函数,所以f(n)<f(x)≤f(n+1),
前面已得出f(n+1)及f(n)均为整数,依题意,区间(f(n),f(n+1)]上的整数只有一个,该区间为前开后闭,所以这个整数只能是f(n+1),且有
f(n)≥f(n+1)-1,所以
n²-9n+k≥(n+1)²-9(n+1)+k-1
解这个不等式,并结合n≥4.5,得n无解。
综上所述,n=4