高一.函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 06:19:10
设f(x)是定义在R上的函数,对m,n属于R恒有f(m+n)=f(m)*f(n),且当x>0时,0<f(x)<1 .
求证1,f(0)=1
2)证明:x属于R时恒有f(x)>0,
3)求证:f(x)在R上是减函数

(1)
令m=n=0
∴f(0+0)=[f(0)]^2
∵f(0)≠0
∴f(0)=1
(2)
①x>0时，0<f(x)<1
②x=0时，f(x)=1>0
③x<0时，-x>0且f(x-x)=f(x)*f(-x)
∵f(-x)>0,f(0)>0
∴f(x)=f(0)/f(-x)>0
综上所述，
任意x∈R,f(x)>0.
(3)
设任意-∞<x1<x2<+∞,x2=x1+(x2-x1),x2-x1>0
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]
=f(x1)-f(x1)f(x2-x1)
=f(x1)*[1-f(x2-x1)]
∵x2-x1>0
∴0<f(x2-x1)<1
∴0<1-f(x2-x1)<1
又∵f(x1)>0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴ f(x)在R上是减函数