高中数学 求通项公式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/08/23 07:36:18
a1=1 a2=4 a3=13 a4=40 a5=121 求通项公式……
an-a(n-1)=3^(n-1)
怎么变成an=(3^n-1)/2
不太懂……

解；

a1=1

a2=a1+3

a3=a2+3^2

a4=a3+3^3

……

an=a(n-1)+3^(n-1)

把上面各式左右两边分别相加有；

Sn=a1+a2+a3+……+an=a1+a2+……+a(n-1)+1+3^0+3^1+……+3(n-1)=S(n-1)+1+3^0+3^1+……+3^(n01)

Sn-S(n-1)=1+3^0+3^1+……+3^(n-1)

因为；sn-s(n-1)=an

所以有；

an=1+3^0+3^1+……+3^(n-1)

=1+(1-3^n)/(1-3)

=(2+3^n-1)/2

=(3^n-1)/2

a2-a1=3
a3-a2=9
a4-a3=27
a5-a4=81
所以an-a(n-1)=3^(n-1)
an=(3^n-1)/2

你用a2-a1，a3-a2，a4-a3........构成一个数列，可发现这个数列凑巧是3 9 27 81
那么相减得到的数列是3^n(3的n次幂)
再反求元数列，得到an=1+0.5*（3^n - 3）

an=(1-3^n)/(1-3)=(3^n-1)/2