函数极限证明题

按照严格的极限定义证明如下

证明

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立

左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε

右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε

所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时

-ε<f(x)-A<ε

即|f(x)-A|<ε

所以

函数f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

不知道你看的书上对函数极限是怎么理解的，现在按我的理解证明一下：

f(x)当x→x0时极限存在
<=>
对任意数列 {a[n]}，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

f(x)当x→x0左极限存在
<=>
对任意数列 {a[n]}，a[n] < x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

f(x)当x→x0右极限存在
<=>
对任意数列 {a[n]}，a[n] > x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

证明：

(i)
函数f(x)当x→x0时极限存在 => 左极限和右极限各自存在并且相等
显然（分别取小于x0和大于x0的数列就行了，他们的函数值极限都存在且相等）

(ii)
<=
任取一数列{a[n]}，满足lim a[n] =