在周长为定值2P的扇形中，半径是（）时扇形的面积最大

半径是（P/2）时扇形的面积最大。

设半径R，扇形角A（弧度），
2P=2R+AR，R=2P/（2+A），
扇形的面积S=AR²/2=2A*P²/（2+A）²
S'=2P²/（2+A）²-4AP²/（2+A）^3 （三次方）
S'=0，
2P²（2+A）-4AP²=0
A=2， R=2P/（2+A）=P/2，
半径是（P/2）时扇形的面积最大。

解：设扇形的面积为S，圆心角为θ，半径为r.
已知周长2p=2r+rθ为定值，故θ=(2p-2r)/r
于是S=(1/2)r²θ=(1/2)r²[(2p-2r)/r]
=-r²+(2p/2)r=-[r²-(2p/2)r]
=-[(r-2p/4)²-2p²/16]
=-(r-2p/4)²+4p²/16≤4p²/16
当且仅仅当r=p/2时等号成立。即当r=p/2时，扇形的面积最大，
最大值为p²/4