已知函数f(x)对任意实数x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2。
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/27 15:31:45
(1):证明f(x)在R上为减函数;
(2):若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求X的取值范围
1)设x=y=0,即f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0
再设x=-y,f(x-x)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),推出奇函数,又因为f(0)=0 f(1)=-2 所以f(x)在R上递减
2) 因为F(X)在R上递减
且为奇函数
所以 -f(-2)= f(2)=2f(1)=-4
所以F(-2)=4
f(2x+5)+f(6-7x)>4
即f(5-5x)>f(-2)
即 5-5x<-2
x>7|5
1)设x=y=0,即f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0
再设x=-y,f(x-x)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),推出奇函数,由已知x>0时,f(x)<0,可证
2)即f(11-5x)>4
f(1+1)=2f(1)=-4,由奇函数和减函数,f(-2)=4,11-5X<-2,可解
1)令任意的x1>x2,那么f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),又x1-x2>0
所以f(x1-x2)<0
所以f(x)在R上为减函数
2)同上
1)如f(x)=kx(其中k为已知常数)
令y=0得f(x)=f(0) +f(x),所以f(0)=0.
取y=-x,由f(X+Y)=f(x)+f(y)得f(x)+f(-x) = f(x-x) = f(0)=0,即f(-x) =-f(x),所以,f(x)为奇函数。
再取X+Y<0,得Y<-x,且f(X+Y) >0,而f(X+Y) =f(x)+f(y),所以,f(x)+f(y) >0,
即f(y) >-f(x) = f (-x ),记x1=Y,x2=-x,则有x1<x2时f(x1) > f(x2),所以函数y=f(x) 在(-∞,0)上递减且恒正,又f(x)为奇函数,所以y=f(x) 在(0,+∞)上也递减且恒负,加之f(0)=0,所以y=f(x) 在(-∞,+∞)上递减。
(2):由f(1)=-2及