若函数y=f(x)的值域为【1/2,3】则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是?
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/07/04 09:48:41
重在过程,详解
解 令t=f(x) 则1/2<t<3 F(t)= t+1/t F’(t)=1-1/tt,所以函数F(t)=在[1/2,1]上是减函数,在【1,3】 上是 增函数,F(1/2)=5/2,F(1)=2,F(3)=10/3,故函数F(x)值域为【2,10/3】
解:
函数f(x)的值域为F(x)的定义域!
考虑函数g(x)=x+1/x,求导得:
g'(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2,
∴当x∈[1/2,1]时,g'(x)<0,函数递减;
当x∈[1,3]时,g'(x)>0,函数递增。
类似的,F(x)对于f(x)也有类似的关系!
所以,F(x)的最小值为F(f(x)=1)=2;
F(1/2)=1/2+2=5/2,F(3)=3+1/3=10/3>5/2=F(1/2)
故最大值为10/3
∴F(x)的值域为:[2,10/3]
令f(x)=t,则f(x)+1/f(x)=t+1/t 1/2<=t<=3
设g(t)=t+1/t
则g(t)=t+1/t>=2(t*1/t)^1/2=2 当且仅当t=1/t时存在即t=1
3>=t>1,g(t)递增
1/2<=t<1,g(t)递减
g(3)=10/3
g(1/2)=2.5
故g(t)在t=3时取最大值
g(t)的值域是[2,10/3]
所以F(x))=f(x)+1/f(x)的值域是[2,10/3]
可以把f(x)设为x,则F(x)=x+1/x定义域为
【1/2,3】,然后利用对勾函数性质解决
结果 2到10/3
jiangbin702用的是导数,求导的F’(t)=1-1/t^2这样看得懂么
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