中值定理的证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 14:35:59
设f（x）在[0,1]上连续，在（0，1）可导，且f（0）=f（1）=0，f（1/2)=1.证明在（0，1）内至少存在一点a，使f’（a）=1
阁下在证明该题导数的连续性上，在下有点看不懂。进视乎该证明可以推广为：若一函数在给定区间内连续可导则其导函数也是连续函数

你这是中值定理吗？因为f（x）在区间【0，1】上连续，在（0，1）上可导，那么在【0，1】上一致连续，那么在区间【0，1/2】上连续，且可导，那么根据lagrange中值定理有之上存在一点b使得f'(b)=(f(1/2)-f(0))/(1/2-0)=2,同理在【1/2,1]内存在一点c使得f'（c）=-2,只要导函数连续就可以了，而现在在区间【b，c】内任意的一点x0，因为f（x）在（0，1）内可导所以在【b，c】内导函数lim（x－＞x0）f'（x)存在，所以由连续性质【b，c】内存在一点a使得f'（a）=1