3道关于一元二次方程韦达定理的题，要具体过程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/06 14:45:08
1.已知关于x的方程x² + 2（m+2)x + m² - 5 = 0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。

2.实数k为何值时，一元二次方程X2-（2k-3）x+2k-4=0根的情况满足条件：

①有两个正跟

②有两个异号根，并且正跟的绝对值较大，

③一根大于3，一根小于3

3.已知关于x的方程（m+2)x² - 根号5 mx + m - 3 = 0

①求证方程有实数根

②若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m的值

1. 由韦达定理得
x1+x2=-2（m+2） ①
x1*x2=m²-5 ②
所以x1²+x2²=①²-2②=2m²+16m+26 ③
又因为这两个根的平方和比这两个根的积大16
所以 ③-②=16
所以 m²+16m+31=16
求得m1=-15 m2=-1
检验符合 x=-15时，原式无实数根，不合题意
x=-1时，原式有两实数根。符合题意。
所以m=-1

2. Δ=4k²-20k+25 恒大于等于 0 所以恒有两根
①.因为有两个正根
所以 x1+x2=2k-3>0 x1*x2=2k-4>0
所以 k>2.

②.因为有两个异号根，并且正跟的绝对值较大，
所以 x1+x2=2k-3>0 x1*x2=2k-4<0
所以 1.5<k<2

③.一根大于3，一根小于3， 由Δ得 k≠5/2
由题得 x=3时，方程必小于0
所以 9-6k+9+2k-4<0 所以 k>7/2
综上 k>7/2

3.
① 1.m=-2时，为一元一次方程，所以必有实数根。
2.m≠-2时 为一元二次方程
所以Δ=5m²-4（m+2）（m-3）=m²+4m+4+20≥20
所以必有实数根
综上 原方程必有实数根

② 方程有两个实数根 所以为一元二次方程
x1+x2=（根号（5）m）/(m+2) ①
x1*x2=(m-3)/(m+2) ②
①²-2② 得
m=0
代入方程 成立