高一 数学 数学函数 请详细解答,谢谢! (8 13:44:16)

 
1.若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a+b)=f(a)乘以f(b)，且当x<0时，f(x)>1
(1)求证：f(x)>0
(2)求证：f(x)为减函数
(3)当f(4)=16分之1时，解不等式f(x—3)乘以f(5—x2)小于等于4分之1
2.函数f(x)=ax除以(1+x2)    (a不等于0，a属于R)
(1)若a=2，求f(x)在x>0时的最大值；
(2)判断f(x)在区间(—1，1)上的单调性

1.
(1)求证：f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立。
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0， 恒成立。则 f(x) > 0 成立。
采用反证法：
假设存在 x0, f(x0) = 0
那么对任意 x，f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾。因此 不存在 x0 ，使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
===============================================
(2)求证:f(x)为减函数
设 x2 > x1
f(x1) - f(x2)
= f(x1 - x2 + x2) - f(x2)
= f(x1 - x2)*f(x2) - f(x2)
= [f(x1 - x2) - 1]*f(x2)

x1 - x2 < 0 ，而已知 x<0 时, f(x) > 1。因此
f(x1 - x2) - 1 > 0
同时已知 f(x) 恒大于0。即 f(x2) > 0
因此
f(x1) - f(x2) = [f(x1-x2) -1]f(x2) > 0
即对定义域内任意 x2 > x1，恒有 f(x2) - f(x1) < 0
因此 f(x) 函数是 减函数
====================================================
(3)当f(4)=1/16 时，解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4

f(4) = 1/16，所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ，舍去 f(2) = -1/4