数列竞赛问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/20 02:38:52
数列的首相等于1，前n项和Sn满足关系式：3tSn-（2t+3）S（n-1）=3t，（t>0,n=2,3,4…）
（1）求证：数列是等比数列
（2）设数列的公比为f（t），最为数列2，使b1=1，bn=f（1/（bn-1））（n=2.3.4…），求bn
（3）求和：b1b2-b2b3+b3b4-……+(-1)^(n-1)bnb(n+1)

(1)∵3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t
∴3t*S(n-1)-(2t+3)S(n-2)=3t
两式相减：3tSn-(5t+3)S(n-1)+(2t+3)S(n-2)=0
3t[Sn-S(n-1)]=(2t+3)[S(n-1)-S(n-2)]
∴an/a(n-1)=(2t+3)/3t
∴{an}是等比数列
(2)
∵bn=3b(n-1)/2b(n-2)+3
∴两边求倒：1／bn=2/3+1/b(n-1)
∴｛1／bn}为公差2／3的等差数列
∴bn=(2n+1)/3

（3）设Cn=bnb(n+1)=(2n+1)(2n+3)/9

3tSn-（2t+3）S（n-1）=3t
Sn=[（2t+3）/（3t）]S（n-1）+1
S2=[（2t+3）/（3t）]S1+1
=（2t+3）/（3t）+1
=（5t+3）/（3t）
A2=S2-S1=（5t+3）/（3t）-1
=（2t+3）/（3t）