涉及杠杆的线密度问题，请帮我！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/22 20:19:14
题是这样：有一杠杆，支点在它的一端。在距支点0.1m处挂一质量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平，如果杠杆的线密度为5kg/m，求最省力的杠杆长？
真的感谢二位！我先理解一下。

解：以顺时针方向为正方向.
设杠杆长L.线密度为μ，则杠杆重G1＝μLg
力臂为l1＝L/2，力矩M1＝G1·l1＝μL²g/2
挂上质量m＝49kg的物体，重G2＝mg
力臂l2＝0.1m，力矩M2＝mgl2
作用于另一端的力为F，力臂为l3＝L
所以力矩M3＝-FL
杠杆平衡，则M1＋M2＋M3＝0
所以μL²g/2＋mgl2＝FL
得到F＝μLg/2＋mgl2/L
当F取最小值时，取函数的导数；
μg/2－mgl2/L²＝0时
代入数据解得L＝1.4m
此时得最省力的F＝68.6N
综上，最省力的杠杆长为1.4m

不知道您看得懂不。。。用了高一物理的力矩平衡和高三数学的求导。。。希望满意

显然，杠杆的长度必须要大于0.1m。
假设杠杆长度为x米，那么，将杠杆受到的力分为三个部分
1、重物的重力产生的力矩=49*0.1=4.9牛米
2、施加的外力产生的力矩=F*x牛米
3、杆自身重力产生的力矩=5x*x/2=2.5x^2
这三者要平衡有
4.9 + 2.5x^2 = F*x
则F= 4.9/x +2.5x>=2√4.9*2.5=7牛
当且仅当4.9/x =2.5x时取最小值7
此时杆长求得为1.4米