函数的无穷小因式什么时候才可以用无穷小来替换？乘除？加减？（请详细回答）

解答：

整体规则：同价时都可以换，无论是加、减、乘、除。
这是极限计算的基本方法，是最基本的常识（Common Sense）。

这里的“同价”指：
1：指数必须一样，如(sinx)^2 与 x^2，
(tanx)^5 与 (sinx)^5。。。。。。。
2：未知数系数必须一样，如sin3x 与 3x，
tan7x 与 sin7x。

lim (tan5x -sin3x)/sin5x可以用sinx=x直接替换吗？
答：tan5x 可以换成 5x
sin3x 可以换成 3x
sin5x 可以换成 5x
结果：（5x - 3x)/5x = 2/5

lim(1-（1+cosx-1）^(1/n))可以用（1+x）^a=1+ax来替换吗？(x趋向0)
答：作为近似计算/估算，是可以的。
但是，作为极限的准确计算就不可以，
如(1 + x)^(1/x),当x趋向于0时，等于e = 2.71828......,
一级近似估算的结果是：1 + x*（1/x）= 2。

结论：作为麦克劳林级数、泰勒级数的估算都是可以的。但作为极限的等价无穷小(equivalent infinitesimal)代换(Substitution)就不对了。

第一个可以
第二个不可以

*）用无穷小来替换要求：必须是乘积因子才能来替换
*）即+、-运算不可。除非是分子(tan5x -sin3x)整体替换
这样你对照你的题该明白了，结论：一可以，二不可以