如果一个自然数各个数位之和与各位数字之积的和恰好等于这个自然数,称之为特性数，求特性数之和！

设10位上是a，个位上是b

则a+b+a*b=10a+b

a*b=9a

b=9

则有个位为9，十位为任意数的二位数的和

即19+29+39+49+59+69+79+89+99=531

2位数的证明：a+b+c+abc=100a+10b+c

abc=99a+9b

bc=99+9*(b/a)

bc有最大值81，99+9*（b/a）有最小值99，所以不可能有三位数以上的特性数

一位数易证得也不可为特性数。

解：
显然特性数不会是一位数.

记任意一个特性数为{ana(n-1)...a1a0},an,an-1,...,a1,a0为它的各位数码。
n>=1.
那么
an+a(n-1)+...+a1+a0+an*a(n-1)*...*a1*a0={ana(n-1)...a1a0}

左端<=an+9n+9^nan=(9^n+1)an+9n
右端>=10^nan

所以10^nan<=(9^n+1)an+9n
(10^n-9^n-1)an<=9n
(10^n-9^n)<9n

上式左端=(9+1)^n-9^n>=n9^(n-1)
所以9n>n9^(n-1)
9>9^(n-1)
故n<2,
所以必有n=1,因此特性数可设为{a1a0}

那么a1+a0+a1*a0=10a1+a0
可得a0=9,a1任取。

因此所有的特性数为19，29，39，49，59，69，79，89，99，
它们的和为：(19+99)*9/2=531.