求一矩阵分析子空间秩的证明题解（用Hamilton-Cayley定理证明）

这个题目既然有提示了应该就很明显了。我暂且当你是初学者，帮你多写一些。

对于F上的任何n阶矩阵A，记L(x)=det(xI-A)，那么L(x)是A的特征多项式并且也是F上的n次首一多项式。由Cayley-Hamilton定理，L(A)=0。
由于L是首一的，A^n=A^n-L(A)，右侧是F上不超过n-1次的多项式。(这一步其实就是移项)

任取F上的多项式f(x)=\sum a_i x^i，那么f(A)=\sum a_i A^i。
当deg(f(x))>n-1时，把f(A)中大于n-1次的项放在一起，提出A^n并用A^n-L(x)代替，这样f(A)就可以用A的不超过det(f(x))-1次多项式来表示，再用归纳法归纳一下就可以得到f(A)可以用A的不超过n-1次的多项式来表示，从而dimV<=rank(I,A,A^2,...A^{n-1})<=n。