矩阵等价相似合同的关系

1.等价矩阵
同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过
初等变换都可以相互转化相等与另一个
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P（-1）AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|
所以|B-aE|=|P（-1）||A-aE||P|
所以|B-aE|=|P（-1）AP-aP（-1）EP|
即|B-aE|=|P（-1）AP-aE|
所以B=P（-1）AP
3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C（T）AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=x（T）Ax
可通过x=Cy变换，即把x=Cy带入
于是f=（Cy)(T)A(Cy)=y(T)[C（T）AC]y
其中令C（T）AC=B，即A与B合同

等价指的是两个矩阵的秩一样
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样
相似是指两个矩阵特征值一样。

相似必合同，合同必等价。

首先相似不一定合同合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C(T)AC=C(-1)AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P(-1)AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P(T)AP=B，即A与B合同，但是PP(T)≠I,则一样不能推出相似。

注意，！！想起不一定合同，要有前提必须是实对称矩阵