单调函数必有反函数，但为何有反函数的不一定是单调函数

这个应当从映射分析。
存在反函数的函数，定义域到值域是1-1对应或者叫双射。定义域和值域分别为D,B，若对于x1，x2∈D，x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B。那么就叫做1-1对应或双射【注意，这里的集合已经压缩到定义域和值域了，满射就能保证了】。这样的映射关系，存在一个逆映射，即存在反函数。

若函数是单调的，无论是增还是减，都能保证x1，x2∈D，x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B，因此单调函数存在反函数。

但是反过来：x1，x2∈D，x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B，能不能推出对于所有的x∈D,存在x1＞x2，f(x1)＞f(x2),或f(x1)＜f(x2)其中一个呢?不能了。已知x1≠x2，只能确定地得到f(x1)≠f(x2),至于大小关系是无法确定的。

函数单调性是存在反函数的充分非必要条件。

答：
单调函数在单调区间内必定有定义，且在其单调区间内无断点或者说无定义的点。所以它必定能找到它的反函数。
而存在反函数的函数，它有可能是分段函数，且分段函数中有可能存在无定义的点或者无穷的点，那么它就不是单调函数了。

常数函数有反函数，但不具有单调性。
例如：常数函数y=1;有反函数x=1.但不具有单调性。