证明实数的连续性

若实数不连续，则存在a、b是相邻的两个实数，则（a+b）/2也为实数，但它介于a、b之间，所以a、b不相邻。故实数连续。

若有理数不连续，则存在a、b是相邻的两个有理数，则（a+b）/2也为有理数，但它介于a、b之间，所以a、b不相邻。故有理数连续。
那为什么说有理数不连续？

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实数系的基本定理——实数系的连续性，有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定理，Cauchy 收敛原理和Cantor定理。这些定理是等价的，其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。

确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
有理数集合0<x^2<2中，无上确界，所以有理数不连续。

用Dedkind切割证明的这个比较好理解，建议去看看吧