八年级三角形证明题，急！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 00:55:17
已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=AC,∠ABC=120° ,∠MBN=60° ∠MBN绕B旋转，它的两边分别交AD，DC（或题目的延长线上）于E，F 当∠MBN绕B旋转到AE=CF是，证AE+CF=EF （2）当∠MBN绕B点旋转到AE不=CF时 上述结论能否成立 若不成立，线段AE，CF，EF又有怎么样的关系？？？
应为AB=BC

(1).当AE=CF时，由AB=BC，∠BAE=∠BCF，由全等三角形边角边定理（有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，SAS），可知△BAE≌△BCF。则∠ABE=∠CBF。

又∠ABC=120°，∠EBF=60°，∠ABE+∠CBF+∠EBF=∠ABC，可知∠ABE=∠CBF=（120°-60°）/2=30°

△BAE为直角三角形，且一顶角为30度，因此AE=BE/2。同理CF=BF/2。

由三角形全等又知BE=BF，加上角EBF为60度，可知△BEF为等边三角形。BE=BF=EF.

因此EF=AE+BF.

(2)若AE不等于CF，由勾股定理

BA^2+AE^2=BE^2

BC^2+CF^2=BF^2

由三角形边长公式，对三角形BEF来说

EF^2=BE^2+BF^2-2*BE*BF*cos∠EBF
=BA^2+AE^2+BC^2+CF^2-2*√(BA^2+AE^2)*√(BC^2+CF^2)*√3/2
=2AB^2+AE^2CF^2-√[3*(AB^2+AE^2)(AB^2+CF^2)] （1）

还有一个公式，是

tan∠ABE=AE/AB; tan∠CBF=CF/BC; ∠ABE+∠CBF=60°

由公式tan(a+b) =(tana+tanb)/(1-tana*tanb) 得

tan60°=(AE/AB+CF/AB)/(1-AE*CF/AB^2)
√3=[(AE+CF)/AB]/[(AB^2-AE*CF)/AB^2]
√3(AB^2-AE*CF)=(AE+CF)*AB
化简

√3AB^2-(AE+CF)*AB-AE*CF=0

可得出AB与AE和CF的关系，代入（1）号消去AB，即可得EF与AE，CF的通式。

把题目检查下吧！AB=AC,∠ABC=120，这有可能吗？