如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点

1.∵F，H分别是BC,CE的中点,∴FH‖BE,FH=1/2BE(中位线定理),∵G是BE的中点,∴BG=EG=FH,∴四边形EGFH是平行四边形。
2.连接GH，则GH//BC,GH=(1/2)BC
∵EF⊥BC
∴EF⊥GH
∵四边形EGFH是平行四边形且EF⊥GH
∴四边形EGFH是菱形
∵EF=(1/2)BC
∴EF=GH
即菱形的两条对角线相等
∴平行四边形EGFH是正方形

证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GF=1 2 EC．
又∵H是EC的中点，EH=1 2 EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GH∥BC且GH=1 2 BC．
又∵EF⊥BC且EF=1 2 BC，
∴EF⊥GH且EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．

证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GF=
1
2
EC．
又∵H是EC的中点，EH=
1
2
EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接GH，
∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GH∥BC且GH=
1
2
BC．
又∵EF⊥BC且EF=
1
2
BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．