请问一道和概率有关的题

平均多少次能把4色球都摸到过一遍，即求恰摸全所需次数的期望。
设第k次恰好摸全。此次有4种球色可选，每种概率为1/4，
前k-1次必在另3种球中选取，且必含3色球。
由3种球任取k-1次（可漏色）概率为（3/4）^(k-1)
仅取到2种色球概率为3[(2/4)^(k-1)-2(1/4)^(k-1)]
仅取到1种色球的概率为3*（1/4）^(k-1)
则前k-1次取球满足要求的概率为
P1=（3/4）^(k-1)- 3[(2/4)^(k-1)-2(1/4)^(k-1)]- 3*（1/4）^(k-1)
综上，第k次恰好取全的概率为
P（k）=4*1/4*p1
=（3/4）^(k-1)-3(1/2)^(k-1)+3(1/4)^(k-1)
(可验算∑_(k=4)^∞▒〖p（k）=1〗)
则k的期望为
E（k）=∑_(k=4)^∞▒〖k*p（k） 〗
=∑▒〖k*〗 （3/4）^(k-1) -3∑▒〖k*〗(1/2)^(k-1) +3∑▒〖k*〗(1/4)^(k-1)
（上式求和符号均从4置无穷。关于此步的计算，可取k*p^(k-1) （0<p<1）的前4至n项和（记为Sn），采用“错位相减法“求出Sn的表达式，取其极限即可分别求出上式3个级数的值）
=189/16-3*5/4+3*13/144
=25/3
≈8.3
则所需次数的期望为25/3，取整为8，故平均约8次能把4色球都摸到过一遍

步骤大抵就是求k次取到的概率，再求k的期望（这是算期望的最标准步骤，即先求一个随机变量的各点概率或概率密度，再求期望，一般的概率论书或材料里会比较详细）。
我可能会算错（计算还是有的，尤其是我括号说明的那步，写起来很繁琐），你有什么疑问再直接找我交谈吧。

PS:我只是高考理科数学140+,大学概率论90+，希望期望（即均值）的概念不会错

回答：

这个题有个简单办法。