已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/07/07 12:27:26
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).
(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+.∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+.∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
1、f(x)=-2lnx+x^2
f'(x)=-2/x+2x=2(x+1)(x-1)/x
当x>1时,f'(x)>0,所以函数在x>1时是增函数;
2、f'(x)=a/x+2x=(x^2+a)/x,定义域x>0
所以函数的单调性看x^2+a的符号。在[1,e]上,a+1<=x^2+a<=e^2+a
(1)a>-1时,增,f(1)=1最小
(2)a<-e^2时,减,f(e)=a+e^2最小
(3)-1<=a<=e^2,先增后减,所以要比较f(1)=1与f(e)=a+e^2的大小关系。显然,f(1)最小。
3、就是alnx+x^2<=ax+2x,即:a(x-lnx)>=x^2-2x,所以就是求(x^2-2x)/(x-lnx)的最大值,只要a大于等于最大值,就会恒成立。
令g(x)=(x^2-2x)/(x-lnx)
则g'(x)=(x^2+x-2-(2x-2)lnx)/(x-lnx)^2
判断g'(x)的符号就看h(x)=x^2+x-2-(2x-2)lnx的正负
h'(x)=x+2/x-2lnx>0恒成立。(因为x+2/x>=2根号2,而lnx<=1)
所以h(x)单增,最小值为h(1)=0
所以g'(x)>0,g(x)单增,最大值为:g(e
所以,a>=(e^2-2e)/(e-1)即可。
如果算错数了,你自己改一下,方法没问题。
已知函数f(x)
f(x)=1/2x^2-alnx
已知函数f(x)=x/(1+x^2)
已知函数Y=f(x),定义F(x)=f(x+1)-f(x).
设x=1,x=2 是函数f(x)=alnx+bx^2+x的两个极值点,若(lnx)'=1/x,
已知函数f(x)=log
f(x)=x^2-alnx 在(1,2]是增函数 g(x)=x-a乘根号x在(0,1)为减函数,求f(x),g(x)表达式
已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=9x+1,求f(x)的函数表达式
已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)]=2x-1,求f(x)
已知f(x)是二次函数,且f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x)的表达式;