关于积分中值定理

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/09/20 07:33:07

从a到b积分，∫xf(x)dx=εf(ε)(b-a),∫xf(x)dx=f(ε)∫xdx,（积分的上下限都是a到b)
这两种用积分中值定理哪种对啊，我觉得是第一种，但是刚才做题发现答案是第二种的做法，谁能帮忙解答，请说明是为什么?
你的意思是上面两种都是对的？

当a,b同号，两种都是对的，∫f(x)g(x)dx=f(ε)∫g(x)dx,只要g(x)不变号（积分域内）
而第一种情况是g(x)=1显然成立
第二种情况是g(x)=x，当a，b同号时也成立
但a，b异号时第二种不成立

后者是推广的积分第一中值定理。要说明的一点是a,b大于等于零时才满足条件。

证明步骤见下图：