如何证明π是一个无理数而又π=圆周率/直径的等式又成立？

到底 π 是无理数或有理数呢？答案非常明显，一定是无理数，否则就不用费这麼大的功夫去计算近似值与近似分数了。1761年 J.H. Lembert 利用 Brouncker 所得出 π 的连分数

而得证 π 是无理数，底下是一浅近的分析证明。
设 f(x) 是 2n 次多项式，则利用连续部份积分得出

现取 ，则显然有 f(x)=f(1-x)，因而对任意正整数 k， f(k)(0)=(-1)k f(k)(1)。现证明 f(k)(0) 是整数，利用数学归纳法可证明

因而

但

故无论如何，f(k)(0) 是整数。
若 π 是有理数， , p,q 是正整数，则p2nJ是整数；而另一方面由

而得

但

故 n 相当大时，0< p2n< 1，这与 p2nJ 是整数相矛盾。故得证 π 是一无理数。

π是定义数。就和e一样。
证明π是无理数是比较复杂的。没有像根号2那么简单。因为它是超越数。
知道了周长和直径（您是指测量的吧）测量值是不会等于真实值的，所以得到的π值也是近似的。

这个证明属于Ivan Niven。假设pi=a/b，我们定义（对某个n）：
f(x) = x^n(a-bx)^n/n!
F(x) = f(x) + ... + (-1)^jf^(2j)(x) + ... + (-1)^nf^(2n)(x)
这里f^(2j)是f的2j次导数.
于是f和F有如下性质（都很容易验证）:
1)f(x)是一个整系数多项式除以n!。
2)f(x) = f(pi-x)
3)f在(0,pi)区间上严格递增，并且x趋于0时f(x)趋于0，
x趋于pi时f(x)趋于pi^na^n/n!
4)对于0 <= j < n, f的j次导数在0和pi处的值是0。
5)对于j >= n, f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）。
6)F(0)和F(pi)是整数（由4)，5)可知）。
7)F +