两点之间线段最短，如何证明呢?

我来，如下图，按题要求是要证明A、B两点的最短距离是AB线段。下面用反证法证明：
假设最短距离并不是线段AB，而是曲线，由于曲线可以化直，即化为一小段一小段的直线组成，因此可以先证明只有一个折点的情况。如下图，设折点为C，由C作CD⊥AB于D，则AC=AD/COSA，BC=BD/COSB。
由于C不在AB上，故∣COSA∣<1， 则AC>AD，BC>BD，则AC+BC>AD+BD=AB。故假设不成立，原命题得证。、
如果有多个折点（弯曲线是无穷多个折点），比如AC间还有折点E，同样可以用上述一个折点方法证AE+CE>AC.
严格的证明方法 :
反证法，假设最短线不是线段AB，而是一空间或平面折线AC1C2...Ci...CnB（注：圆弧线也可以用极限法化为折线，即所谓的化曲为直思想），于是可由点C1，C2...Ci...Cn分别向AB线段所在的直线作垂线，交AB所在直线于D1，D2...Di...Dn.由三角形斜边大于直角边得AC1>AD1,C1C2>D1D2...CnB>DnB.各不等式左右分别相加得折线AC1C2...Ci...Cn>AB，证毕.

你说的没错，这个绝对是可以用其他知识推导出来。
不过这个证明过程就犹如证明1+1=2一样困难，不是说只用微积分，只用什么定理就可以证明的，是要用很多定理公式，还都不能是从“两点之间直线最短”为前提推导出来的公式定理和推导方式。
如果真是有志于此，那么恭喜你，你现在就开始研究，或许二十年后你就能解决这个问题了，而不是在这里用180分就可以悬赏的来的，可能到时候你的草稿纸也会堆满一屋子，你也会得诺贝尔奖，就像人类工业革命发明蒸汽机一样，你在数学界也会受到万人敬仰，成为数学界的超级大师。
或许今天你可以引到一些玉，但我相信能在百度知道里闲逛的人一定不是那种数学狂人，而这样的问题通常只有数学狂人方能解决，所以如果真是感兴趣那就潜心修炼吧。

我们先假设这条定理是错误的 ,那么则在平面内至少存在一条已知两点间的曲线比这两点间的线段更短.
然后在这条曲线上找一个任意点，连接两端点（线段B和C）。这样出现一个三角形。因为两边之和大于第三边，所以线段A短于B+C。