D(n)=1+1/2+1/3+……+1/n

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 12:30:40
D(n)=1+1/2+1/3+……+1/n,求证n>=2，D（n）平方>2（D（2）/2+D(3)/3+……D(n)/n）
我自己做出来了。证明如下：
D（n）—1/n=D（n-1）两边平方得D²(n）-2D（n）/n+1/n²=D²(n-1)
所以2D（n）/n=D²(n)-D²(n-1)+1/n²
所以右边=D²(n）-D²(1）+1/4+1/9+……+1/n²
1/4+1/9+……+1/n²<1/2+1/6+1/12+……1/(n-1)n
所以-D²(1）+1/4+1/9+……+1/n²<0
所以右边<D²(n）
得证

必须证明更强的命题：
n>=2时，D（n）平方>2（D（2）/2+D(3)/3+……D(n)/n）+1/(n+1)^2
（1）n=2时,
有D²(2) = 9/4，2(D(2)/2)+1/(2+1)^2 = 29/18
D(2)>2(D(2)/2)+1/2
成立

（2）若n=k成立
则D(k)^2>2(D(2)/2+D(3)/3+..+D(k)/k）+1/(k+1)^2
D(k+1)^2=D(k)^2+2D(k)/(k+1)+1/(k+1)^2
>2(D(2)/2+D(3)/3+..+D(k)/k）+2D(k)/(k+1)+2/(k+1)^2
=2(D(2)/2+D(3)/3+..+D(k)/k+D(k+1)/(k+1))
综上所述，得证

经“金龙QSZ”提醒，之前确实犯了个大错，当然“1234david4321”也是错的，但方法可以借鉴。
现在用数学归纳法证明 D²(n) > 2(D(2)/2 + D(3)/3 + ... + D(n)/n) + 1/n 对于n≥2成立，
如果该不等式成立，自然得到D²(n) > 2(D(2)/2 + D(3)/3 + ... + D(n)/n)成立。

完整证明如下：
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数学归纳法

1.
n=2时
D²(2) = 9/4
2(D(2)/2) + 1/2 = 2
成立

2.
假设n=k时成立
即 D²(k) > 2(D(2)/2 + D(3)/3 + ... + D(k)/k) + 1/k

D²(k+1) - D²(k) = (D(k+1) + D(k))·(D(k+1) - D(k))
= (2·D(k+1) - 1/(k+1))(1/(k+1))