设函数f(x)=ax2-4ax+3-b(a≠0)在[1,4]上有最大值8，最小值3，试求实数a和b的值

由对称轴公式-b/2a得出其对称轴为X=2
分两种情况：
开口向下：
最大值为X=2即：4a-8a+3-b=8
最小值为X=4即：16a-16a+3-b=3
解得：a=-2,b=0
开口向上：
最大值为X=4即：16a-16a+3-b=8
最小值为X=2即：4a-8a+3-b=3
解得：a=5/4,b=-5

f(x)=ax2-4ax+3-b=a（x-2）²-4a+3-b若最大值是顶点-4a+3-b=8可以说明a＜0
那么最小值应该离顶点远的，即x=4时，最小值3-b=3可以得出b=0，a=-5/4
（2）若最小值是顶点，-4a+3-b=3，那么最大值是x=4时，3-b=8得出b=-5a=5/4
所以a=5/4或-5/4，b=-5或0

由题意知对称轴x=2
①a＞0,开口向上,且对称轴为x=2
则离对称轴较远的x=4的函数值最大,即x=4时取到函数的最大值;在对称轴位置上取到函数最小值,即x=2时取到最小值.
则有2*2a-4*2a+3-b=3和4*4a-4*4a+3-b=8联立解得a=5/4,b=-5.
②a＜0,开口向下,且对称轴为x=2
则离对称轴较远的x=4的函数值最小,即x=4时取到函数的最小值;在对称轴位置上取到函数最大值,即x=2时取到最大值.
则有2*2a-4*2a+3-b=8和4*4a-4*4a+3-b=3联立解得a=-2,b=0.

对函数求导
得到
f(x)=2ax-4a=0
x=2
f(2)=-4a+3-b
f(1)=-3a+3-b
f(4)=3-b

若a>0
f(2)为极小值且f(4)>f(1)
则
f(2)=-4a+3-b=3
f(4)=3-b=8
解得
a=1.25
b=-5

若a<0
则
f(2)为极大值且f(4)<f(1)
所以
f(2)=-4a+3-b=8