在梯形ABCD中，AD平行BC，AC⊥BD于O求证：AB+CD＞AD+BC

过D做DE//AC交BC的延长线于E
容易证明ACED为平行四边形
AC = DE
AD = CE
则AD + BC = BC + CE = BE
AC + BD = DE + DB
则不等式的问题就集中于△BDE
△构成原理为两边之和大于第三边
所以BD+DE > BE
即AC+BD > AD +BC

感觉AC⊥BD的条件有点多余。

楼上请注意AC⊥BD不是多余,你做的辅助线能交到延长线上的前提是AC⊥BD，没有这个条件可能是交到图形内部，其余正确

回复 王学模：对哦，没看清。

令AD、BC的中点为E、F。
∵∠AOD＝90°，AE＝DE，
∴EO＝AE＝AD/2，
∴∠EOA＝∠EAO。
∵∠BOC＝90°，BF＝CF，
∴FO＝BF＝BC/2，
∴∠FOB＝∠FBO。
∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＋∠ABO＝90°。
又AD∥BC，∴∠EAO＋∠BAO＋∠ABO＋∠FBO＝180°，
∴∠EAO＋∠FBO＝90°，
∴∠EOA＋∠FOB＝90°，
∴∠EOA＋∠AOB＋∠FOB＝180°，
∴E、O、F共线，
∴EO＋FO＝EF，
∴EF＝（AD＋BC）/2。
令AB、CD的中点为G、H。
∵∠AOB＝90°，AG＝BG，
∴GO＝AG＝AB/2，
∴∠GOA＝∠GAO。
∵∠COD＝90°，CH＝DH，
∴HO＝DH＝CD/2，
∴∠HOD＝∠HDO。
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO＋∠DAO＝90°。又AB、CD不平行，
∴∠GAO＋∠DAO＋∠ADO＋∠HDO≠180°，
∴∠GAO＋∠HDO≠90°，∴∠GOA＋∠HOD≠90°，
∴∠GOA＋∠AOD＋∠HOD≠180°，
∴G、O、H不共线，∴GO＋HO＞GH，
∴GH＜（AB＋CD）/2。
由三角形中位线定理，有