He heard someone singing in the next room.

是这样的：
sing在这是感官动词，也就是联系动词，有一个固定的句型：
连系动词+do或doing
所以，不定式啊，过去时啊，都不可以用
而+do 和doing的区别在于
do表示经常干某事，或者是一瞬间的动作，这个动作在刚才刚刚完成
例：I often hear him sing at night。我经常在晚上听见他唱歌。
Someone drop the monry just now.刚刚有人的钱掉在地上了。
Someone saw her walk into the building.刚有人看见她走进了大楼。
而doing表示正在做或偶然在做一件什么事情
例：I heard someone singing last night.昨晚我听见谁在唱歌。（唱歌是可持续动作，故不用原形）
I saw mum cooking when I got home yesterday.昨天我回家的时候正好看见妈妈在做饭。
总之，先理解句子的意思，再判断，用do或doing

因为hear不是普通的动词，它是感官动词，后面只能加动词原形过ing形式，其他的感官动词还有taste,watch,listen,....只要是人的感官部位发出的都是。

hear some one doing sth
前面动词用过去式好了，后面的singing是修饰的someone。

hear sb do/doing sht
do 是一般性的
doing 是具体的、动作未结束的