此句中的“とりよう”是哪个单词？

この场合の「よう」は「様」であり、「方法」の意味になります。

とりよう＝取り様＝どの様に（连络を）取るのか＝（连络を）取る方法

ちなみに、
しょうがない＝しようがない＝し様が无い＝する＋様 がない＝ I don't kow how to(/should I) do, There's no way to do ＝没办法

とりよう→取りよう

意思是:想取得

とり:取得
よう:(意识的)

彼と连络のとりようがなかった→「无法与他取得联系」

～ようがない
2级语法
接续是动词去掉ます
译为，无法。。。不能。。。
例如题中的とり的原型就是取る
这句话翻译为，因为是休息中，无法跟他取得联络