如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F。求证：四边形AFCE是菱形。

证明：①题上没有说ABCD是平行四边形，所以，AFCE只是个普通的四边形，不是菱形。

②如果ABCD是平行四边形，则 AFCE是菱形。证明非常简单。(用‘全等’也可以，但太麻烦) 证法如下：
∵平行四边形是中心对称图形，O是AC中点，它就是对称中心。
∴OF＝OE(对称图形对应部分相等)
已知AO＝OC，EF⊥AC，∴AFCE是菱形。(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)

四边形ABCD是平行四边形

∵AE‖CF
∴∠EAO=∠OCF
∵EF⊥AC
∴∠EOA=∠COF=90度
又∵O是AC的中点
∴AO=CO
∴△AEO≌△COF
∴AE=CF EO=FO
∵EO=FO AO=CO ∠EOC=∠AOF
∴△ECO≌△AOF
∴EC=AF ∠ECO=∠OAF
∴EC‖AD
四边形AECF为平行四边形
∵EO=FO CO=CO ∠EOC=∠FOC
∴△EOC≌△COF
∴EC=CF
∴EC=CF=AE=AF
∴四边形AECF为菱形

∵A0=CO ∠EAO=∠FCO ∠AOE=∠COE=90
∴△AOE≌△COF
∴FO=EO

可以看出AC与FE互相垂直且互相平分
∴四边形AFCE是菱形