硬币证明题

解法1：要想让新放的硬币不与原先的硬币重叠，两个硬币的圆心距必须大于直径。也就是说，对于桌面上任意一点，到最近的圆心的距离都小于2，所以，整个桌面可以用n个半径为2的硬币覆盖。把桌面和硬币的尺度都缩小一倍，那么，长、宽各是原桌面一半的小桌面，就可以用n个半径为1的硬币覆盖。那么，把原来的桌子分割成相等的4块小桌子，那么每块小桌子都可以用n个半径为1的硬币覆盖，因此，整个桌面就可以用4n个半径为1的硬币覆盖。

解法2：桌面内每个乡邻硬币之间的最短距离小于硬币直径2r，但这是一个必要不充分条件，充分条件应该是每两个硬币间距离进一步小于2*（根号2r-r）,最外面的硬币边缘与桌面边缘的距离应小于 根号2r-r。
如此我们认为每个硬币周围的空白地区小于以 根号2r-r 宽度的一个圆环。那么实际上只要覆盖全部n个 根号2 为半径的圆就可以了。
接下来看，4个r半径的圆能覆盖的面积。取他们内部最大的正方形，其边长正好为 根号2r，也就是说四个拼在一起可以组成个边长为2*21/2r的正方形，可以覆盖上面直径半径为 根号2r 的圆。一个可以，4N个也可以。

解法3：假如先前N个中没有重叠且边上的都超出桌子的边上且全都是紧靠着的.那么根据题意就可以有:
空隙个数Y=3N/2+3(自己推算)
每一个空都要一个圆来盖
桌面就一共有圆的数为:

Y+N=3N/2+3
=5N/2+3 <=4N(除N=1外)
所以可以用4N个硬币完全覆盖.

解法4：“新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠”即：任意相邻的2个硬币之间的距离小于4R。那么n个圆心至少可以依“长方形的桌面”，重新排成距离等于4R的矩阵；4n个圆心至少可以依原矩阵排成距离等于4R/3的矩阵（4X4)。将硬币看成其内切正方形（边长根号2倍R），根号2倍R大于4R/3，所以4n个中心距离等于4R/3的正方形组成的矩阵，完全覆盖桌面。

假如先前的硬币中没有重叠且边上的都超出桌子的边上且全都是紧靠着的.横排有x个,竖排有Y个,(x.y都属于正整数)那么空隙个数用乘法算有(x-1)(y-1)个,但要把整个桌面的硬币完全覆盖,需(x+1)(y+1)个,