一条数学归纳法题目

一个数被3除的余数有3种可能：0、1、2
（1）若n被3除余0，则n(n+1)(n+2)(n+3）能被3整除；
（2）若n被3除余1，则可设n=3r+1（r为自然数），则n+2=3（r+1)，推出 n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整除；
（3）若n被3除余2，则可设n=3r+2（r为自然数），则n+1=3（r+1)，推出 n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整除；
总之，n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整除。
显然4个连续自然数中必有2个偶数，它们相乘能被4整除，于是n(n+1)(n+2)(n+3)也能被4整除。
由于3和4互质，所以n(n+1)(n+2)(n+3)能被12整除。

这道题不需要用数学归纳法~

如果硬要用数学归纳法么
（1）当n=1时， n(n+1)(n+2)(n+3)=12，能被12整除；
（2）假设当n=k时，n(n+1)(n+2)(n+3)=k(k+1)(k+2)(k+3)，能被12整除，
那么当n=k+1时，n(n+1)(n+2)(n+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3),
由前一种证法可以看出，连续3个自然数中必有一个为3的倍数，故4(k+1)(k+2)(k+3)能被12整除，又由假设k(k+1)(k+2)(k+3)能被12整除，得出k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3)能被12整除。
所以对于任意的n， n(n+1)(n+2)(n+3)能被12整除。

证明：连续的四个数中肯定有一个数能被3整除，也肯定有两个偶数即能被2整除
所以：
n(n+1)(n+2)(n+3)
=2*2*3*(n/2)*((n+1)/3)*((n+2)/2)*(n+3)
=12*(n/2)*((n+1)/3)*((n+2)/2)*(n+3)
所以对於所有自然数n, n(n+1)(n+2)(n+3)能被12整除