数学正整数中前项和问题一道

1)a[1]=S[1]=(a[1]+1/a[1])/2,a[1]=S[1]=1
S[2]=S[1]+a[2]=1+a[2]=(a[2]+1/a[2])/2,a[2]=√2-1，S[2]=√2
S[3]=S[2]+a[3]=√2+a[3]=(a[3]+1/a[3])/2,a[3]=√3-√2,S[3]=√3
S[4]=S[3]+a[4]=√2+a[4]=(a[4]+1/a[4])/2,a[4]=2-√3,S[3]=2
2)可假设a[n]=√n-√(n-1)
显然n=1、2、3、4假设成立
假定n≤k时，a[k]=√k-√(k-1)
于是：S[k]=√k
S[k+1]=S[k]+a[k+1]=√k+a[k+1]=(a[k+1]+1/a[k+1])/2
解得：a[k+1]=√(k+1)-√k,于是当n=k+1时假设成立
由数学归纳法可知：对于n∈N,a[n]=√n-√(n-1).

来自：求助得到的回答

一问

a1=s1
带入方程 得到 a1=正负1. 因为a1为正数 所以a1=1
知道了a1 a2 a3 a4 都能知道了

an=[n^(1/2)]-[(n-1)^(1/2)]; ^ 为开方

an=s(n)-s(n-1);

饿。。。接下来 如果换成我做的。。我会得到an 跟 an-1的关系式
因为已经推测了an的表达式了。利用归纳法，带入那个表达式。如果上面的 方程成立，则表明推测正确。除此 我推不出来了

楼上基本正确。
先由a1到a4的值猜测通项是答案那个
然后用归纳法证明如下：
a1 = 根号1-根号0 = 1成立
假设a = k成立
那么a=k+1时，
S（k+1） = Sk + a(k+1)
代入Sk和S（k+1）,得
(ak + 1/ak)/2 + a(k+1) = (a(k+1) + 1/a(k+1))/ 2
整理，得
1/a（k+1） - a(k+1) = ak + 1/