函数f(x)的定义域为R,任意实数x,总有f(x)=f(x-1)+f(x+1),求证:f(x)为周期函数

根据f(x)=f(x-1)+f(x+1),
则 f(x+1)=f(x)+f(x+2),
所以f(x)=f(x-1)+f(x+1)=f(x-1)+f(x)+f(x+2)，
所以f(x-1)=-f(x+2)

记t=x-1,则x=t+1,代入f(x-1)=-f(x+2)，有
f(t)=-f(t+3),
依此同样有f(t+3)=-f((t+3)+3)=-f(t+6),
所以f(t)=f(t+6),
据周期函数的定义可知，6是函数f(x)的一个
周期，所以它是周期函数。

由f(x)=f(x-1)+f(x+1),得
f(x+1)=f(x+2)+f(x)
联立以上二式有f（x-1)=f(x+2)
令t=x-1，则有
f(t)=f(t+3)
而f(x)的定义域为R，故其为周期函数

证明：f(x)=f(x-1)+f(x+1),===>f(x+1)=f(x)+f(x+2).两式相加得：f(x-1)+f(x+2)=0.===>f(x+2)+f(x+5)=0.===>f(x-1)=f(x+5).===>f(x)=f(x+6).

f(x)=f(x-1)+f(x+1)=f(x-2)+f(x)+f(x+1)

f(x+1)=-f(x-2)
f(x)=-f(x-3)=f(x-6)
f(x)是周期为6的周期函数