谁能给我分别列举几个泰勒级数和幂级数展开的例子？并说说他们有什么区别。

例子实在是不好写,我用语言给你旅顺一下他们的关系

这里有很多概念一样要理解清楚 幂级数 幂级数收敛 函数的泰勒级数 函数的幂级数展开

1.幂级数是一个大范围,泰勒级数是相对于一个函数f(x)而言的.
你随便写一个x^n的级数,不管系数你怎么写,他都是一个幂级数.
而泰勒级数是f(x)在x0点的n导数与(x-x0)^n的乘积再除以n! n从0到无穷,而得到的这个级数叫 f(x)在x0点的泰勒级数, 这里注意...是f(x)在x0点的....这也就说泰勒级数的定义是和f(x)和x0有关的,脱离了f(x)和x0来谈泰勒级数是不对的.对于f(x)在x0点的泰勒级数,他也符合幂级数的定义,所以它也是幂级数!

2.幂级数展开与幂级数 是两回事!
幂级数数就是一个级数,而幂级数展开说法其实不准确,应该说成f(x)的幂级数展开,就是把f(x)展开成幂级数的形式,找到一个幂级数,什么样的幂级数?是这个幂级数的和函数收敛于f(x),那么怎么来找?考查f(x)在x0的泰勒级数,这个级数什么时候收敛于f(x),就有了函数展开成幂级数条件:f(x)的拉格朗日余项趋于无穷大时 f(x)在x0点的泰勒级数收敛于f(x)，所以就是f(x)展成了他的泰勒级数。这个展开式其实是唯一的。
所以f(x)的幂级数展开 就是在某一点使f(x)在这点的泰勒级数收敛，就找到了f(x)的幂级数展开

打了不少，不知楼主能看懂不，希望楼主能认真读懂。
其实还有类似的概念函数的傅里叶级数，和函数的傅里叶展开也是不同的概念。

PS：一楼的在胡扯，函数在x=0的级数那就叫函数的麦克劳林级数，是一种函数的泰勒级数！概念不清！

泰勒级数相当于一般情况，幂级数相当于泰勒级数的特殊情况，即在x=0点的展开，举例在这里太不方便了，找找高等数学的书一看就明白。