UC知道颇具挑战性高中数学题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/19 06:29:04
说是颇具挑战性，其实是因为我比较笨吧
原题：自点A（-3，2）引圆（x-1）^2+(y+4)^2=9的割线ABC，求弦BC的中点P的轨迹方程。
我用了个参数k，结果x=-3k2-6k+1/k2+1
y=-4k2+4k+2/k2+1
虽然这两个式子肯定正确，但是接下去化简的问题就……
希望高手指点如何解答这道题（不用管我的做法）
谢谢了
原题：自点A（-3，2）引圆（x-1）^2+(y+4)^2=9的割线ABC，求弦BC的中点P的轨迹方程。
我用了个参数k，结果x=-3k2-6k+1/k2+1
y=-4k2+4k+2/k2+1
虽然这两个式子肯定正确，但是接下去化简的问题就……
希望高手指点如何解答这道题（不用管我的做法）
谢谢了
不用设什么参数，直接做。
设P(x,y)
向量AP=（x+3,y-2）,OP=(x-1,y+4),两向量垂直。
（x+3）(x-1)+(y-2)(y+4)=0，可不化简了，化简的话是x^2+2y^2+2x+2y-11=0
挺简单的，没什么挑战性吧，
用几何方法：
假设圆心为B，则BP⊥AP
所以点P在以AB为直径的圆上。（直径所对的圆周角是直角）
即：轨迹就是以AB为直径的圆在已知的圆B内的部分。
方程我就不写了哈。
直接设中点P的坐标为(x,y),圆心坐标为D(1,-4),由于PA⊥DP,所以PA的斜率乘DP的斜率为－1。故有：(y-2)/(x+3)×(y+4)/(x-1)=-1.化简整理得：
(x+1)^2+(y+1)^2=5,这就是点P 的轨迹方程了。