已知abc≠0，证明四数（a+b+c）3/abc、（b-c-a）3/abc、 （c-a-b)3/abc、（a-b-c）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/05 07:20:10
已知abc≠0，证明四数（a+b+c）3/abc、（b-c-a）3/abc、 （c-a-b)3/abc、（a-b-c）3/abc中至少有一个不小于6。

同上，帮帮忙拉，明天就要报到了

首先易证：(x+y)^3 + (x-y)^3 = 2*x^3 + 6*x*y^2

(a+b+c)^3/abc+(b-c-a)^3/abc+(c-a-b)^3/abc+(a-b-c)^3/abc
=1/abc*{[a+(b+c)]^3+[a-(b+c)]^3+[-a+(b-c)]^3+[-a-(b-c)]^3}
=2/abc*[a^3+3*a*(b+c)^2+(-a)^3+3*(-a)*(b-c)^2]
=2/abc*[3*a*(b^2+2bc+c^2)-3*a*(b^2-2bc+c^2)]
=2/abc*3*a*4bc
=24
假设(a+b+c)^3/abc;(b-c-a)^3/abc;(c-a-b)^3/abc;(a-b-c)^3/abc都小于6，那么(a+b+c)^3/abc+(b-c-a)^3/abc+(c-a-b)^3/abc+(a-b-c)^3/abc<24
与(a+b+c)^3/abc+(b-c-a)^3/abc+(c-a-b)^3/abc+(a-b-c)^3/abc=24矛盾
所以(a+b+c)^3/abc;(b-c-a)^3/abc;(c-a-b)^3/abc;(a-b-c)^3/abc必有一个不小于6

（a+b+c）3/abc+（b-c-a）3/abc+（c-a-b)3/abc+、（a-b-c）3/abc=0

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把四个数加起来，证明和不小于24即可