拓扑算法求助

拓扑排序算法

在很多条件下，任务的执行是连续进行的，例如汽车装配问题或平时购买的标有“需要装配”的消费品（自行车、小孩的秋千装置，割草机等等）。我们可根据所建议的顺序来装配。在由任务建立的有向图中，边（ i, j）表示在装配序列中任务i 在任务j 的前面，具有这种性质的序列称为拓扑序列（topological orders或topological sequences)。根据任务的有向图建立拓扑序列的过程称为拓扑排序（topological sorting）。图1 - 4的任务有向图有多种拓扑序列，其中的三种为1 2 3 4 5 6，1 3 2 4 5 6和2 1 5 3 4 6，序列1 4 2 3 5 6就不是拓扑序列，因为在这个序列中任务4在3的前面，而任务有向图中的边为（ 3 , 4），这种序列与边（ 3 , 4）及其他边所指示的序列相矛盾。可用贪婪算法来建立拓扑序列。算法按从左到右的步骤构造拓扑序列，每一步在排好的序列中加入一个顶点。利用如下贪婪准则来选择顶点：从剩下的顶点中，选择顶点w，使得w 不存在这样的入边（ v,w），其中顶点v 不在已排好的序列结构中出现。注意到如果加入的顶点w违背了这个准则（即有向图中存在边（ v,w）且v 不在已构造的序列中），则无法完成拓扑排序，因为顶点v 必须跟随在顶点w 之后。贪婪算法的伪代码如图1 3 - 5所示。while 循环的每次迭代代表贪婪算法的一个步骤。

现在用贪婪算法来求解图1 - 4的有向图。首先从一个空序列V开始，第一步选择V的第一个顶点。此时，在有向图中有两个候选顶点1和2，若选择顶点2，则序列V = 2，第一步完成。第二步选择V的第二个顶点，根据贪婪准则可知候选顶点为1和5，若选择5，则V = 2 5。下一步，顶点1是唯一的候选，因此V = 2 5 1。第四步，顶点3是唯一的候选，因此把顶点3加入V

得到V = 2 5 1 3。在最后两步分别加入顶点4和6 ，得V = 2 5 1 3 4 6。

1. 贪婪算法的正确性

为保证贪婪算法算的正确性，需要证明： 1) 当算法失败时，有向图没有拓扑序列； 2) 若

算法没有失败，V即是拓扑序列。2) 即是用贪婪准则来