三角形ABC的三边abc满足c的平方+b的平方＝5倍的a的平方，BE，CF分别为AC边上的中线，求证：BC与CF垂直

应该是 BE与CF垂直 吧。

引理：在ΔABC中，AD为一条中线，则AB²+AC²=2AD²+1/2*BC²
证明：由余弦定理
AB²=AD²+BD²-2AD*BD*cosADB
AC²=AD²+CD²-2AD*CD*cosCDB
因为∠ADB+∠CDB=180°，所以cosADB+cosCDB=0，
又因为BD=CD，所以两式相加即得
AB²+AC²=2AD²+BD²+CD²=2AD²+1/2*BC²。得证。

证明：设三角形重心（BE、CF交点）为G，
则BG=2/3*BE，CG=2/3*CF，
由引理
a²+c²=2BE²+b²/2
a²+b²=2CF²+c²/2
得BE²=1/4*(2a²+2c²-b²), CF²=1/4*(2a²+2b²-c²)。
BG²=4/9*BE²，CG²=4/9*CF²
BG²+CG²=4/9*(BE²+CF²)
=1/9*(2a²+2c²-b²+2a²+2b²-c²)
=1/9*(4a²+b²+c²)
=1/9*(4a²+5a²)=a²
故BG⊥CG，即BE⊥CF。

题目抄错了，

错题

延长BC到G点，使BC=CG，连接AG
那么AG平行于FC
假设FC垂直于BC，那么AG垂直于BC

方程式可变为c方-(2a)方=a方-b方
可c方-(2a)方=AG方
而a方-b方为负数