一元二次方程初三竞赛试题

1.当r=0时，原方程为一元一次方程：x-1=0，根x=1为整数，符合题意~

2.当r不=0时，原方程为一元二次方程，不妨设其两根为x1,x2，由韦达定理易知：x1+x2= -(r+1)/r= -1-1/r ==> 1/r=-(x1+x2)。
因为x1,x2为整数，所以x1+x2必为整数，记1/r=N，N为整数。
带入原方程，由公式求出解为：
x1=(sqrt(N^2+6N-3)-N-1)/2
x2=(-sqrt(N^2+6N-3)-N-1)/2
要x1、x2为整数，首先要sqrt(N^2+6N-3)为整数，即N^2+6N-3=M^2，其中M为整数。从而而N^2+6N-3=(N+3)^2-12=M^2 ==> (N+3)^2-M^2=12 ==> (N+3-M)(N+3+M)=12=1*12=2*6=3*4
所以：
N+3+M=1 And N+3-M=12
N+3+M=12 And N+3-M=1
N+3+M=2 And N+3-M=6
N+3+M=6 And N+3-M=2
N+3+M=3 And N+3-M=4
N+3+M=4 And N+3-M=3
解上面的六个方程组，舍掉M、N不是整数的解得到：
M=2、N=1 或 M=-2、N=1
带入N=1/r得：r=1

综上，r=0或r=1。

答：r=0或r=1

解：
1。当r=0时，原方程为一元一次方程：x-1=0，根x=1为整数，符合题意~

2。当r不=0时，原方程为一元二次方程，不妨设其两根为x1,x2，由韦达定理易知：x1+x2= -(r+1)/r= -1-1/r
因为x1,x2为整数，所以x1+x2必为整数，于是只有r= +(-)1
又当r=-1时，原方程化为x^2= -2，这不可能！
所以r=1，此时方程为：x^2+2x=0，两根x1=0，x2=-2，都是整数，符合题意~

综上，r=0或r=1

rx^2+(r+1)x+(r-1)=0
(1).当r=0