微积分求助！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/08/23 07:05:55
设函数f(x)在闭区间[0，A]上连续，且f(0)=0.如果f'(x)存在且为增函数（x属于[0，A]）.试证：函数F（x）=f(x)/x也是增函数.

F(x)=f(x)/x
F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2
因为x^2>0
所以要证F(x)为增函数
只需证xf'(x)-f(x)>0
由微分中值定理，任取x属于(0,A),存在e属于(0,x),使得
[f(x)-f(0)]/x=f'(e)
所以
xf'(x)-f(x)=xf'(x)-[f(x)-f(0)]=xf'(x)-xf'(e)
因为f'(x)为增函数
所以xf'(x)-xf'(e)>0
所以F'(x)>0
所以F(x)是增函数