方差的定义和性质

方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，用字母D表示。在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着重要意义。

方差的定义：
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大。否则，反之)
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,
若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。

方差的性质：
（1）设c是常数，则D(c)=0。
（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=c2D(X)。
（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
D(X -Y)= D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则
D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y),
此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即X=c,a.s.其中E(X)=c。
（5）D(aX+bY)=a2DX+b2DY+2abCov(X,Y)。