UC知道高二奥数求助!!
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/30 21:25:01
1.设Xi属于N,(i=1,2,…,6)
X1+X2+…+X6=X1*X2* …*X6
求证：1< (X1+…+X6)/6 “小于等于”2
2.在三角形ABC中，求证：
b^2*c(b-c) + c^2*a(c-a) + a^2*b(a-b)大于等于0
3.求证：(x^2 + xy + y^2)^(1/2)+(x^2 + xz + z^2)^(1/2)大于等于(y^2 + yz + z^2)^(1/2)
X1+X2+…+X6=X1*X2* …*X6
求证：1< (X1+…+X6)/6 “小于等于”2
2.在三角形ABC中，求证：
b^2*c(b-c) + c^2*a(c-a) + a^2*b(a-b)大于等于0
3.求证：(x^2 + xy + y^2)^(1/2)+(x^2 + xz + z^2)^(1/2)大于等于(y^2 + yz + z^2)^(1/2)
Xi属于N =>Xi>=1
又当Xi都=1时,不符和题意
所以至少有一个Xi>1
所以1< (X1+…+X6)/6
又因为当有5个Xi=1时，也不符和题意
所以至少Xi中有2个>1
设X1+X2+…+X6=n
fn=X1*X2* …*X6的最小值
又因为
(Xi-1)*(Xj-1)>=0
所以
Xi*Xj>=1*(Xi+Xj-1)
同理(当Xi Xj>1时)
Xi*Xj>=2*(Xi+Xj-2)
所以
X1*X2* …*X6>=1*(X1+X2-1)*X3...X6
>=1*1*1*1*2*(n-6)
所以fn=2n-12
当n>12时
fn-n=n-12>0
"X1+X2+…+X6=X1*X2* …*X6"
恒不成立
所以n=<12
所以
(X1+…+X6)/6 “小于等于”2
2
设a>=b>=c
b^2*c(b-c) + c^2*a(c-a) + a^2*b(a-b)=
b^2*c(b-c) +a^2*b(a-b)+c^2*a(c-b)+c^2*a(b-a)
=(b-c)(b^2*c-c^2*a) +(a-b)(a^2*b-c^2*a)
=c(b-c)(b^2-c*a) +a(a-b)(a*b-c^2)
a>=b>=c =>a*b-c^2>=0
当b^2-c*a>=0时
不等式成立
当b^2-c*a<0时
c(b-c)(b^2-c*a) +a(a-b)(a*b-c^2)
=a(a-b)(a*b-c^2)-c(b-c)(c*a-b^2)
>=c(a-b)(a*b-c^2)-c(b-c)(c*a-b^2)
>=a(a-b)(a*c-b^2)-c(b-c)(c*a-b^2)
=a(a*c-b^2)(