高一数学问题NO8

在数列{an}中,首项a(1)=1，a(n+1)=2a(n)+2*3^n，求数列{a(n)}的通项公式
由a(n+1)=2a(n)+2*3^n，有
a(n)=2a(n-1)+2*3^(n-1)=
=2[2a(n-2)+2*3^(n-2)]+2*3^(n-1)=2^2*a(n-2)+2^2*3^(n-2)+2^1*3^(n-1)=
=2^3*a(n-3)+[2^3*^(n-3)+2^2*3(n-2)+2^1*3^(n-1)]=
=……………………………………………………………=
=2^(n-1)a(1)+2^(n-1)*3^1+2^(n-2)*3^2+…+2^1*3^(n-1)=
=2^(n-1)+2^(n-1)*3^1+2^(n-2)*3^2+…+2^1*3^(n-1)=
=2^(n-1)+2^(n-1)*3[1+(3/2)+(3/2)^2+…+(3/2)^(n-2)]=
=2^(n-1)+2^(n-1)*3{[(3/2)^(n-1)-1]/[(3/2)-1]}=
=2^(n-1)+2^n*3[3^(n-1)-2^(n-1)]/[2^(n-1)]=
=2^(n-1)+2*3^n-6*2^(n-1)=
=2*3^n-5*2^(n-1)
=2[3^n-5*2^(n-2)]

an=2^(n-1)+2·3^n-3·2^n

∵a(n+1)=2an+2·3^n
∴a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+(3/2)^n
设b(n+1)=an+1/2^(n+1),bn=an/2^n
∴b(n+1)=bn+(3/2)^n
用叠加法可得
bn=b1+(3/2)^(n-1)+(3/2)^(n-2)+……+(3/2)
bn=b1+[2·(3/2)^n]-3
把bn=an/2^n,b1=a1/2=1/2带进去就可以了