三角形五心的所有性质和证明方法

一、问题的提出
我们已学完三角形和判断三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。并且还知道三角形有5个心：重心，垂心，内心，外心，旁心。及其他们的定理：例如重心， 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心，三角形的三条高交于一点。那么我们不禁思考：有没有一个三角形三条中线不交于一点？有没有一个三角形的重心到顶点的距离不是它到对边中点距离的2倍呢？有没有三角形违背另外四个心的定理呢？这一切将通过下面的探讨与研究和证明，从而解决这些问题。

二、具体的实例的证明
重心:求证：三条中线交于一点
连接DE
DE//BC（中位线平行于底边）
假设目前只知道BE和DC两条中线。
AO交DE于G
∠ADE=∠B（两线平行同位角相等）
DE//BC（中位线平行于底边）
∠AED=∠ACB（两线平行同位角相等）
△ADE相似于△ABC
F是中点那么G就是中点
再连接HI使其穿过O点
△AHI与△ADE中：
∠AHI=∠ADE
∠AIH=∠AED
∠A=∠A
因此△AHI与△ADE相似
因此O为HI中点
所以F为BC中点
即三条中线交于1点
求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍？
证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心
做BG中点H，GC中点I
∴HI为△GBC的中位线
∴HI//BC,且 2HI=BC
同理：FE是△ABC中位线
∴FE//BC,且 2FE=BC
∴FE//HI,且 FE=HI
∴四边形FHIE是平行四边形
∴HG=GE
又H为BG的中点
∴HG=BH
∴HG=BH=GE
∴2GE=BG
∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍

垂心:设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。HA=a，HB=b，HC=c。
因为AD⊥BC，BE