什么是角亏定理

勒戎得不仅在分析和力学方面有出名的工作，在几何方面也很有成就．1794年他的著作《几何原理》对后来的教科书有很大的影响．他试证第五公设时讨论了三种互相排斥的假定：
I．三角形的内角和大于两直角，
II．三角形的内角和等于两直角，
III．三角形的内角和小于两直角．
他用正确的推理把第一个假定推向矛盾，若能把第三个假定也引向矛盾，那就证明了三角形内角和等于两直角．同时也就证明了第五公设．可惜在把第三个假定引向矛盾时，他自己不觉察用上一个与第五公设等价的命题．
定理I 如果每个三角形的内角和等于二直角，则第五公设成立．
证明 设每个三角形的内角和为二直角，又设 为一直线， 为其外一点。求证通过 只有一直线与 不相交．
作 于 ，并过 作直线 ，我们知道 与 不相交．
设 是通过 的任意直线，而 是 与线段 所成的锐角．我们来证明直线 与直线 相交在锐角所在的一侧．为此，在直线 上锐角所在的一侧作点 使 ．再在同一侧作 使 ．一般，作点 使 我们来观察三角形 因为假设每个三角形的内角和为 ，所以在等腰 中，顶点为 和 的内角都等于 由此推出 中顶点为 的内角等于 一般，在 中顶点为 的内角等于 因之

既然设 为锐角，就有 ，其中 ．取 充分大，使

于是有
这样，直线 夹在 的边 和 中间，因此它与直线 应相交于点 与 之间．即是说，通过 只有直线 与 不相交．证完．
现在让我们回过来讨论三角形的内角和问题，并引进两符号．
设 为一三角形，则

分别称为这三角形的角和和角亏（亏值）．
定理II 在每个三角形 中， ．
证明 设 的内角为 , , ,并设定理的反面成立：

延长边 ，并在其上作 个三角形 ，使与 都合同．以 表示角 ，则

易见三角形 都合同，因之

由于 和 有两边分别相等而夹角不等，因之有 ．写出折线 的长度大于封闭线段 ，得