数学 异面直线成角

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/07 15:13:31
在正方体ABCD－A’B’C’D’中，M为棱DD’的中点，O为底面正方形ABCD的中心，P为棱A’B’上任意一点，则直线OP与AM所成的角等于多少？为什么呢？

解：设正方体的棱长为a，延长DD'至E'点，使D'E'=a/2,连接A'E',则A'E'//AM
∵A'B'⊥面A'ADD'
∴A'B'⊥AM
易知AM^2=A'E'^2=a^2+(a/2)^2=5a^2/4
A'O^2=a^2+(√2a/2)^2=3a^2/2
OE'^2=(√2a/2)^2+(3a/2)^2=11a^2/4
即OE'^2=A'O^2+A'E'^2
∴A'O⊥A'E',即A'O⊥AM
∴AM⊥面A'B'0
∴AM⊥OP,即直线OP与AM所成的角等于90度