设集合A上的关系R，S是等价关系，证明R∩S也是A上的等价关系，并举例说明R∪S不一定是

第一个验证一下就行
任何X属于A (X,X)属于R (X,X)属于S 所以属于R∩S (自反性)
若 (X,Y)属于R∩S 则 (X,Y)属于R (X,Y)属于S 所以 (Y,X)属于R
(Y,X)属于S 所以(Y,X)属于R∩S (对称性)
若 (X,Y)属于R∩S (Y,Z)属于R∩S 所以(X,Y)属于R (Y,Z)属于R 所以
(X,Z)属于R 同理 (X,Z)属于S 所以 (X,Z)属于R∩S (传递性)
所以R∩S是A上的等价关系
R∪S不一定是
A为自然数集 R为模2 同余关系 (即(X,Y)属于R 当且仅当 2整除(X-Y))
S为模3 同余关系 (即(X,Y)属于R 当且仅当 3整除(X-Y))
则 R∪S为 {(X,Y)|2整除(X-Y)或3整除(X-Y)}
(1,3)属于R∪S (3,6)属于R∪S 但(1,6)不属于R∪S 所以属于R∪S不是等价关系

这种问题很基础，考试不会考的。一般只要记住结论就够了。再说这结论也很好记的