证明：格的直积是格

如题，需证明格的直积还是格。请高手帮忙。
就是搞不懂格的直积的表示，以为直积不是一个关系吗？

我的证明过程是这样的，怕会有漏洞，希望高手看看，给出意见，不大懂的就算了。
设<A,<>，<B,<>是格，现在要证明〈A*B，<>是格。
（1）设a,b分别属于<A,<>，<B,<>，则a<a,b<b,因此<a,b><<a,b>满足自反性。
（2）设a_1,a_2,b_1,b_2分别属于<A,<>，<B,<>，若a_1<a_2，有a_1=a_2，b_1<b_2，有b_1=b_2，则<a_1,b_1><<a_2,b_2>有<a_1,b_1>=<a_2,b_2>满足反对称性。
（3）传递性也和（1）（2）一样证。
依上，〈A*B，<>是偏序集。
设a_1,a_2的最小上界是c,最大下界是d,
b_1,b_2的最小上界是e,最大下界是f,则<a_1,b_1>的最小上界是<c,e>,最大下界是<d,f>.

<代表偏序的符号，因为不好打，所以用它代替。
我觉得这个证明肯定是有漏洞的，但实在不知道怎么改进，请高手指点。

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